(‏۳- ۳۳)

(‏۳- ۳۴)

(‏۳- ۳۵)

Constraints (۳-۳) - (۳-۷), (۳-۹)–(۳-۱۲), (۳-۱۴)–(۳-۱۷) , (۳-۱۹)–(۳-۲۳)

که در آن ρ_ξ احتمال وقوع سناریوی ξ می­باشد. محدودیت­های (۳-۲۴) تا (۳-۲۹) برای سهولت در فرمول نویسی تعریف شده اند. تابع هدف اول دارای سه عبارت می­باشد؛ عبارت اول امید ریاضی زیان کل سیستم تولیدی و زنجیره تأمین (علت استفاده از کلمه زیان به این دلیل است که از کل هزینه­ های سیستم تولیدی درآمد حاصل از فروش کاسته شده است) و عبارت دوم تغییر پذیری زیان کل سیستم تولیدی و زنجیره تأمین تحت سناریوهای مختلف می­باشد (پایداری جواب). عبارت سوم در واقع پایداری مدل است و میزان غیرموجه شدن مدل را تحت همه سناریوها و با کمک محدودیت کنترلی (۳-۳۴) جریمه می­نماید. متغیر  در این عبارت بیانگر میزان انحراف از موجه شدن محدودیت کنترلی (۳-۳۴) می­باشد. محدودیت­های (۳-۳۲) و (۳-۳۳) محدودیت­های کمکی برای خطی سازی عبارات قدر مطلق هستند و قبلاً در معادله (۲-۱۳) در فصل ادبیات موضوع به آن اشاره شده است. محدودیت (۳-۳۴) یک محدودیت کنترلی می­باشد و تغییر شکل یافته محدودیت (۳-۸) می­باشد، و در واقع برای تعیین مقدار کالایی که به نقاط تقاضا ارسال می­گردد و نیز محاسبه میزان کمبود در نقاط تقاضا و در دوره­ های مختلف بکار می­رود. همانطور که قبلاً در بخش فرضیات اشاره شد به دلیل ماهیت محصولات، امکان نگهداری کالا در نقاطِ تقاضا، بیش از یک دوره وجود ندارد. همچنین محدودیت مورد بررسی به صورت کوچکتر مساوی است و قابل پیش بینی است که این محدودیت به ازای برخی سناریوها موجه باشد و به ازای برخی دیگر از سناریوها غیر موجه شود (کوچکتر مساوی برقرار نشود). از این رو متغیر کنترلی برای محاسبه میزان انحراف از موجه بودن این معادله تحت سناریوهای مختلف تعریف گشته است و ضمن آنکه به طور ضمنی اجازه ناموجه شدن این محدودیت را تحت برخی سناریوها به مدل می­دهد میزان این انحراف را در تابع هدف اول جریمه می­نماید. به عبارت بهتر چنانچه میزان تقاضای هر مشتری در دوره t بعلاوه کمبود در آن نقطه مشتری در دوره­ های قبلی کمتر از میزان کل محصولاتی باشد که به آن نقطه تقاضا ارسال می­گردد، میزان کمبود در دوره جاری برابر خواهد بود با  و با توجه به کمینه سازی تابع هدف، مقدار انحراف از جواب موجه، برابر صفر خواهد بود (). از طرف دیگر چنانچه از مقدار  بزرگتر باشد در این صورت میزان کمبود برابر صفر () و میزان انحراف از موجه بودن تحت سناریوی ξ برابر می شود و نشان دهنده میزان موجودی مورد نیاز در نقطه تقاضای مربوطه است که به دلیل فرضیات مسئله منجر به ایجاد یک جواب ناموجه می­ شود. ذکر این نکته ضروری است که علت عدم امکان نگهداری بیش از یک دوره موجودی در نقاط تقاضا می ­تواند متأثر از ماهیت محصولات نظیر فساد پذیری آن­ها و یا هزینه­ های سرسام آور و تکنولوژی خاص برای نگهداری محصولات باشد. با این وجود، مدل سازی صورت گرفته این امکان را می­دهد تا علی رغم وجود ریسک ناشی از ایجاد موجودی در نقاط تقاضا تحت برخی سناریوها، جواب بدست آمده را قابل قبول تلقی نماید.

مدل پیشنهادی دوم؛
در این مدل، یک برنامه­ ریزی ریاضی سه هدفه تصادفی دو مرحله ای برای برنامه­ ریزی کلی تولید-توزیع در یک زنجیره تأمین گسترده دو سطحی توسعه داده شده است. در مدل پیشنهادی، تقاضا و پارامترهای هزینه­ای غیرقطعی در نظر گرفته شده اند. تابع هدف اول کمینه کردن امید ریاضی مجموع هزینه­ های سیستم تولید-توزیع است و تابع هدف دوم کمینه سازی تغییر پذیری هزینه­ های کل سیستم تولید- توزیع می­باشد. تابع هدف سوم بیشینه سازی بهره­وری نیروی انسانی است. بهره­وری از طریق برگزاری دوره­ های آموزشی در کارکنان تولیدی ارتقاء می­یابد و خود را از طریق بهره­وری بیشتر در مدت زمان دسترس پذیری نشان می­دهد. از جمله نکاتی که می­توان به عنوان انگیزاننده^[۱۹۹]­های مدل پیشنهادی اشاره کرد عبارتند از:
محققین اغلب بر کمینه کردن هزینه ها و یا بیشینه کردن سود، به صورت تک هدفه تمرکز نموده اند.
بسیاری از مدل­های چند هدفه موجود در ادبیات، یا قطعی هستند و یا تنها عدم قطعیت در تقاضا را در نظر گرفته اند.
بهره­وری نیروی انسانی و تغییرپذیری هزینه ها در حوزه برنامه­ ریزی تولید اغلب مورد غفلت قرار گرفته اند. و این دو مورد، در جهان رقابتی امروز بویژه در شرکت هایی که خود را با تکنولوژی­های نوین هماهنگ نموده اند، کلیدی محسوب می­شوند.
بدین منظور یک مدل برنامه­ ریزی ریاضی چند هدفه تصادفی دو مرحله ای برای برنامه­ ریزی کلی تولید-توزیع تحت شرایط عدم قطعیت در تقاضا و پارامترهای هزینه ای ارائه می­گردد. موضوع بهره­وری کارکنان یکی از دغدغه­های اصلی محققین و شاغلین در صنعت در چند دهه اخیر است. بسیاری از کارفرمایان و نیز مطالعات تحقیقاتی راجع به نیروی کار بر این موضوع متمرکز شده اند که چه راهکارهای عملی و برنامه ­های تشویقی می­توان در نظر گرفت تا بهره­وری نیروی کار را بهبود بخشید. در عمل، تعریف بهره­وری بسیار دشوار است. بنابراین ضروری به نظر می­رسد که با افزودن یک تابع هدف جدید، مفهوم بهره­وری را هرچند بصورت ضمنی و جزئی در برنامه­ ریزی کلی دخیل نمود. به این ترتیب تابع هدف سوم مدل پیشنهادی، حداکثر نمودن بهره­وری از طریق بیشینه ساختن میانگین وزنی سطوح بهره­وری نیروی کار در بین همه شرکت ها و در طی همه دوره ها می­باشد. به این ترتیب، مدیران شرکت ها تلاش می­نمایند تا بجای افزایش کمّی نیروی کار، بهره­وری نیروی کار را از طریق برگزاری دوره­ های فنی-آموزشی افزایش دهند بویژه در شرکت هایی که خود را به تکنولوژی­های جدید مجهز نموده ­اند (بوث بی و همکاران^[۲۰۰] ۲۰۱۰). با این حال این دوره­ های فنی-آموزشی هزینه هایی را نیز به سیستم تولیدی تحمیل می­نماید بنابراین بین تابع هدف هزینه­ و بهره­وری یک تضاد وجود دارد و جواب بهینه در یک تعادل بین اهداف مختلف بدست خواهد آمد.
هرچند ایده افزایش بهره­وری در حوزه برنامه­ ریزی منابع انسانی در نظر گرفته شده است. تاکنون غیر از مقالات منتج شده از این رساله، هیچ کار تحقیقاتی دیگری این مفهوم را در حوزه منابع انسانیِ برنامه­ ریزی کلی تولید-توزیع، بکار نبرده است.
از آنجا که توابع امید ریاضی هزینه کل سیستم تولیدی، تغییر پذیری هزینه ها و بهره­وری نیروی انسانی در تضاد با یکدیگر هستند مدل­سازی در قالب برنامه­ ریزی سه هدفه صورت گرفته است. عدم قطعیت مفروض در تقاضا، پارامترهای تولید و توزیع بصورت برنامه­ ریزی تصادفی دو مرحله ای مدل شده است. به این ترتیب که متغیرهای تصمیم مربوط به تولید به عنوان متغیرهای مرحله اول و متغیرهای تصمیم مربوط به توزیع به عنوان متغیرهای مرحله دوم در نظر گرفته شده اند. بنابراین مدل پیشنهادی یک مدل برنامه­ ریزی چند هدفه تصادفی دو مرحله ای است. برای حل مسئله چند هدفه از رویکرد اپسیلون-محدودیتِ ارتقاء یافته که در فصل مرور ادبیات به رویکرد کلاسیک آن اشاره شده، استفاده می­گردد. که در نهایت یک مجموعه جواب پارتویی را برای تصمیم گیری بدست می­دهد. برای حل مسئله برنامه­ ریزی تصادفی دو مرحله ای نیز از یک رویکرد ابتکاری مبتنی بر تجزیه^[۲۰۱] به نام ال-شکل^[۲۰۲] بهره گرفته شده است. در این روش از ساختار قابل تجزیه برنامه­ ریزی تصادفی دو مرحله ای استفاده می­ شود. در تولید سناریوها نیز تکنیک نمونه گیری توسعه یافته مونت کارلو^[۲۰۳] بکار گرفته شده است.
ویژگی­های بارز این مدل عبارتند از:
برنامه تاکتیکی-عملیاتی (میان مدت)/ زنجیره تأمین دو سطحی (کارخانه­های تولیدی، نقاط تقاضا)/ سه هدفه/ چند کالایی/چند دوره­ای/چند سایتی/
عدم قطعیت: تقاضا و پارامترهای تولید و توزیع غیر قطعی فرض شده و بر اساس سناریوهای مبتنی بر تابع توزیع بیان می­شوند
تصمیمات: برنامه­ ریزی مقدار و زمان سفارشات، برنامه­ ریزی نیروی انسانی، برنامه­ ریزی آموزشی، برنامه­ ریزی تولید در وقت عادی، اضافه کاری و برونسپاری، تنظیم مقادیر موجودی و سفارشات عقب افتاده
روش مدل سازی: برنامه­ ریزی سه هدفه تصادفی دو مرحله ای
اهداف: