مطالعه حاضر به ترتیب زیر سازماندهی شده است. بخش اول، تفاوت بین سرمایه محافظ و سرمایه مولّد را بیشتر تشریح کرده و اهمیت آنها را در پایه‌گذاری مدل توضیح می‌دهد. در بخش دوم تعاریف جدیدی از تله‌های فقر ارائه می شود. مدل نظری نیز که اثر سرمایه محافظ بر انباشت سرمایه را در چهارچوب نسلهای همپوشان بررسی می‌کند، در بخش سوم آمده است. همچنین در این بخش نقش دو شکل مختلف توابع احتمال بقای سرمایه مولّد در رفتار مدل، مورد بحث قرار گرفته است. در بخش چهارم برخی از سیاست‌های کاهش فقر مانند تزریق سرمایه خارجی و سیستم مالیات بر دستمزد آمده است. بخش پنجم نیز به نتیجه‌گیری اختصاص یافته است.
سرمایه محافظ در برابر سرمایه مولّد
در نیمه پایانی قرن گذشته نظریه رشد اقتصادی به طور متقاعدکننده‌ای بر نقش انباشت سرمایه مولّد به عنوان عامل تبیین کننده توسعه تأکید داشته است. دسته‌ای از مدل‌های رشد انواع مختلف سرمایه از قبیل سرمایه های فیزیکی، انسانی و اجتماعی را محرک رشد می‌دانند. فرض اولیه در چنین مدل‌هایی این است که نقش سرمایه در اقتصاد تنها می تواند از نوع مولّد باشد. دسته‌ای دیگر نیز بر بهره‌وری متمرکز شده اند. این مدل‌ها بر آنانند که گسترش نابرابری استانداردهای زندگی میان کشورها و نیزدرون جوامع را به تفاوت در شاخصهای بهره‌وری مرتبط سازند.
باور عمومی بر این است که علاوه بر انباشت انواع مختلف سرمایه و نیز تفاوت در میزان بهره‌وری، برخی عوامل دیگر که هنوز نیز ناشناخته‌اند، در اندازه و بزرگی شکاف درآمد سرانه بین کشورهای مختلف دنیا تأثیرگذار هستند. مدل پیشنهادی حاضر کارکرد جدیدی برای سرمایه ارائه می دهد که از آن تحت عنوان سرمایه محافظ یاد شده است. این سرمایه از سرمایه مولّد در برابر سوانح و بلایا حفاظت می‌کند. بلایای طبیعی همانند خشکسالی‌ها، زلزله‌ها، سیل‌ها، زمین‌لغزش‌ها، بیماری‌های همه‌گیر و فورانهای آتشفشانی‌ و نیز سوانح و حوادث ناشی از فعالیت‌های انسانی همانند حوادث صنعتی، تصادفات جاده ای، جنگها، کشمکش‌های قومی و قبیله‌ای، آشوب‌های سیاسی و اجتماعی، آلودگی ها و تغییرات اقلیمی همه و همه کیفیت زندگی انسان‌ها را به مخاطره می‌اندازند. سؤال اساسی این است که چگونه آثار مخرب ناشی از یک سانحه با بزرگی یکسان در کشورهای مختلف به طور قابل توجهی متفاوت است. چرا زلزله هائیتی جان بیش از ۱۰۰۰۰۰ نفر را می‌گیرد در حالیکه زلزله‌ای به مراتب بزرگتر از آن در شیلی تنها ۵۰۰ نفر را قربانی می‌کند؟ (Wikipedia)

به اعتقاد ما سطح بالای سرمایه محافظ عامل اصلی در محدود کردن خسارات وارده ناشی از زلزله در یکی از دو کشور فوق می‌باشد. بنابراین، نتیجه مستقیم ناشی از اعتقاد سیاستگزاران بر نقش و اثر سرمایه محافظ، تبیین و اجرای سیاستهایی به منظور ارتقای سطح سرمایه محافظ است.
زمانی که بحث تأمین مالی سرمایه محافظ طرح می‌شود تمایز آشکار آن از سرمایه مولّد مشخص می‌گردد. سرمایه‌گذاران بخش خصوصی هنگام تصمیم‌گیری در ارتباط با سرمایه‌گذاری در سرمایه مولّد، نرخ بازگشت مورد انتظار را مورد توجه قرار می‌دهند. از همین رو آنها تا زمانی به سرمایه گذاری ادامه می‌دهند که نرخ بازگشت مورد انتظار به اندازه مورد نیاز ایشان برسد. این در حالیست که نرخ بازگشت در ارتباط با سرمایه محافظ چندان روشن نبوده و به میزان خسارت مورد انتظار از هر سانحه و نرخ بازگشت مورد انتظار سرمایه مولّد بستگی دارد. علاوه بر این، حافظت معمولاً نیازمند فعالیت‌های جمعی بوده و محول کردن سرمایه‌گذاری محافظ منحصراً از طریق بازارهای آزاد، ممکن است به شکست بازار منتهی شود. به همین دلیل در مدل پیشنهادی پیش رو، سرمایه مولّد از طریق بازار آزاد و سرمایه محافظ از طریق وضع مالیات بر دستمزد تأمین مالی می‌شود. این وضعیت به مدل سرمایه سلامت چاکرابورتی شباهت دارد.
انواع تله‌های فقر
تعریف کلاسیک تله فقر چنین است: «هر نوع مکانیسم خودکفا که سبب می‌شود فقر ادامه پیدا کند» (Azariadis & Stachurski, 2005). تعریف تکنیکی تر این است که تله فقر هنگامی روی می‌دهد که در یک مدل رشد چندتعادلی، مکانیسم‌های بازار آزاد توان خارج نمودن اقتصاد را از وضعیت ایستای درآمد پائین به هر یک از وضعیت‌های پایدار درآمد بالا، بدون دخالت دولت و یا منابع خارجی نداشته باشد. در ادامه چهار نوع تله فقر را تعریف می کنیم: (۱) تله فقر گریزپذیر، (۲) تله فقر گریز ناپذیر و (۳) تله فقر متناوب (۴) نیم تله.
تله فقر گریزپذیر^[۵۱]:
تله ایست که تزریق سرمایه خارجی ممکن است به رهایی از فقر منتهی گردد.
تله فقر گریز ناپذیر^[۵۲]:
در چهارچوب مدل پیشنهادی این نوع تله، حالتی است که تزریق سرمایه خارجی در گریز از تله مؤثر نیست. به عبارت دیگر، این تله زمانی اتفاق می‌افتد که هیچ مقداری از حمایت‌های مالی خارجی نتواند اقتصاد را به وضعیت‌های پایدار با درآمد بالاتر سوق دهد.
تله فقر متناوب^[۵۳]:
این تله فقر زمانی واقع می‌شود که اقتصاد بین دو سطح درآمدی بالا و پائین نوسان کند. هیچ کدام از این دو سطح پایدار نبوده ولی ترکیبی از آن دو می‌تواند به عنوان تعادلی چندگانه مد نظر قرار گیرد.
نیم تله:
این تله وضعیت ایستا در اقتصاد بازار آزاد چندتعادلی است که در آن اقتصاد ممکن است از وضعیت درآمد پائین رها شود اما نمی تواند به وضعیت ایستای درآمد بالا برسد و در نتیجه در وضعیتی ثابت و پایدار بین دو آستانه به دام می‌افتد.
سرمایه محافظ و مدل OLG
در این مطالعه، مدل نسل‌های همپوشان دو دوره‌ای نوع دیاموند^[۵۴] استاندارد را مورد استفاده قرار می دهیم (Diamond, 1995). در دوره اول افراد بخشی از دستمزدشان را پس‌انداز می کنند به امید اینکه در دوره دوم عمرشان بتوانند تمام سرمایه پس‌انداز شده را به همراه سود حاصل از سرمایه گذاری در بازار سرمایه استفاده کنند. البته این احتمال نیز وجود دارد که افراد در پایان دوره اول تمامی سرمایه خود را بر اثر یک فاجعه از دست بدهند. میزان احتمال خسارت به انباشت سرمایه محافظ مبتنی بر مالیات بستگی دارد.
محیط
نفراتی از افراد یک نسل،v = ۰, ۱, ۲, … ، در هر دوره متولد شده و به شکلی غیر کشسان نیروی کار را تنها برای یک دوره در عوض دریافت دستمزد، ، تأمین می‌کنند. افراد هر گروه دو دوره زندگی می کنند و در دوره دوم زندگی خود در تأمین نیروی کار نقشی ندارند. ایشان پس‌اندازهای خود را همراه با سود حاصل از بازار سرمایه مصرف می کنند. افراد تابع مطلوبیت «ریسک گریزی نسبی ثابت» CRRA^[55] مورد انتظار خویش را در طول دو دوره زندگی بیشینه می‌کنند:

و با دو محدودیت بودجه مواجه اند:
در این جا بوده و عامل تنزیل روانی می‌باشد. ضمن اینکه میزان پس‌انداز در زمانt ، بوده و میزان کل سود مورد انتظار از بازار سرمایه در ازای پس‌انداز است. تابع تولید کاب-داگلاس^[۵۶] است که در آن بازده نسبت به مقیاس تولید ثابت و سهم سرمایه از تولید برابر با و A > 0 است. بنابراین برای سرانه نیروی کار داریم:

که در آن نشان دهنده سرانه سرمایه مولّد به ازای هر نیروی کار است.
در بازار آزاد رقابتی، نرخ‌های اجاره سرمایه و دستمزد به شکل زیر محاسبه می‌شوند:

که در آن نرخ استهلاک سرمایه مولّد بوده و نیز از آنجا که هر دوره به اندازه نیمی از عمر زندگی افراد گروه به طول می‌ انجامد می توان فرض کرد که .
در این اقتصاد علاوه بر سرمایه مولّد، سرمایه محافظ نیز انباشت می‌شود که این امر احتمال بقای سرمایه مولّد را افزایش می‌دهد. در غیاب سرمایه محافظ، سرمایه‌گذاری تنها زمانی مولّد خواهد بود که سانحه و یا فاجعه‌ای اتفاق نیافتد. در غیراین صورت، سرمایه ای برای دوره دوم زندگی افراد باقی نخواهد ماند. به همین دلیل حائز اهمیت است که علاوه بر نرخ استهلاک سنتی برای سرمایه مولّد، تابع احتمال بقای سرمایه مولّد را هنگامی که سطح سرمایه محافظ q_t ≥ ۰ است به صورت زیر تعریف کنیم: به ترتیبی که . اگر سرمایه گذاری کافی در سرمایه محافظ انجام نشده باشد، شانس بقای سرمایه مولّد نیز اندک خواهد بود. این احتمال اندک بقاء با نشان داده شده است. در حالت دیگر با انباشت سرمایه محافظ در طول زمان ، احتمال بقای سرمایه مولّد به سمت سوق پیدا می‌کند. به همین ترتیب، یک سانحه می‌تواند ذخیره سرمایه مولّد را با احتمال از بین ببرد که در این صورت، افراد نیمه دوم زندگی خود را در فقر و بی چیزی سپری خواهند کرد.
تابع احتمال، ، نسبت به سرمایه محافظ، q، افزایشی است. به طور خلاصه در بردارنده فروض زیر است:
فرض (۱)
فرض (۲)
فرض (۳)^[۵۷]
بنابراین بازگشت مورد انتظار از بازار سرمایه، ، برابر خواهد بود با بازگشت ناخالص از بازار سرمایه ضرب در شانس بقاء .
سرمایه محافظ توسط بخش دولتی و از طریق نرخ یکنواخت مالیات دستمزد و با نرخ ثابت مستهلک می‌شود.
با اینکه ریسک سوانح و بلایا، سیستماتیک و غیرمتنوع هستند، در اینجا فرض می کنیم که هر کشور بیمه عادلانه و مناسبی از سازمان های بین المللی دریافت می کند و اندازه اقتصاد هر کشور و نیز میزان خسارت ناشی از سوانح و بلایا به قدری نسبت به بقیه دنیا اندک و ناهمبسته می باشد که مؤسسات بین المللی نیازی به دریافت حق بیمه ندارند. این سیستم بیمه بین المللی قطعی بودن را که در بین کشورهای مختلف بر حسب متفاوت است، تضمین می کند.
قانون پیشروی برای سرمایه محافظ به صورت زیر است:
که در آن برای همه گروه ها t ≥ ۰ با q₀ > 0 است.
مشابه فرض می کنیم که :

شایان ذکر است که احتمال وقوع بلایا و سوانح با مقدار رابطه ای نداشته و تنها بر اندازه خسارات ناشی از آن اثرگذار است.
تعادل عمومی
بنا به نرخ اجاره سرمایه و دستمزد و ساختار قطعی نرخ بازگشت، فرایند بیشینه کردن تابع مطلوبیت CRRA با توجه به کمبود بودجه به «معادله اولر»^[۵۸] منتج می‌شود:

معادله بالا نشان می‌دهد که چگونه اقتصادهای متفاوت از نظر «کشش جایگزینی بین زمانی» (θ/۱) واکنش‌های مختلفی به تغییر در نرخ بازگشت مورد انتظار سرمایه نشان می‌دهند.
برای بررسی نقش سرمایه محافظ در وقوع تله فقر، مدل پیشنهادی ما یک تابع احتمال پالس را برای امکان بقای سرمایه مولّد مفروض می‌دارد. در مرحله بعد مدل با بکارگیری توابع احتمال عمومی توسعه می‌یابد.
تابع احتمال پالس
می توان چنین تصور کرد که احتمال بقای سرمایه مولّد آستانه ای دارد و از نوع تابع پالس است. به عبارت دیگر برای مؤثر و کارا بودن سرمایه محافظ آستانه‌ی Q وجود دارد: