شکل ‏۲-۱۶ کمینه HHI در سطح بار پیک سیستم IEEE-118 Bus
شکل ‏۲-۱۷ بیشینه HHI در سطح بار پیک سیستم IEEE-118 Bus
موضوع قابل بحث دیگر تأثیر TS بر بازه تغییرات HHI است. بیشترین افزایش در بازه تغییرات را باید در سطح بار پیک جستجو کرد، زیرا که در این سطح بار، میزان کمینه و بیشینه HHI از TS بیشتر متأثر می‌شوند. اگر بازه تغییرات HHI را برای سناریو د در سطح بار پیک با توجه به شکل‌های ۲-۱۶ و ۲-۱۷ در نظر بگیریم، مشاهده می‌شود که این بازه بدون TS دارای مقدار ۳۵۱ (۳۵۱=۶۵۳-۱۱۰۵) واحد بوده است که با TS به مقدار ۵۷۶ (۵۷۶=۴۲۹-۱۱۰۵) واحد افزایش یافته است. بنابراین TS بازه تغییرات HHI را ۲۲۵ واحد افزایش داده است. این در حالی است که کمترین افزایش در بازه تغییرات HHI مربوط به سناریو ب-۲ در سطح بار غیر پیک شبکه است. در شکل‌های ۲-۱۴ و ۲-۱۵ مشاهده می‌شود که به دلیل متأثر نشدن کمینه و بیشینه HHI از TS، بازه تغییرات HHI، هیچ تغییری نمی‌کند. بنابراین در این شبکه افزایش بازه تغییرات HHI با در نظرگرفتن TS در مقایسه با شبکه IEEE-14 Bus کمتر می‌باشد. این موضوع به دلیل گستردگی و عدم تمرکز مالکیت در این شبکه است.

تحلیل حساسیت نتایج به پارامترهای خطی‌سازی و مدل مسأله
پس از انجام شبیه‌سازی‌ها و اعمال مدل بر روی شبکه IEEE-14 Bus، در این قسمت حساسیت نتایج در یک سناریو و سطح بار مشخص نسبت به پارامترهای خطی‌سازی، تعداد خطوط مجاز به کلیدزنی و مدل مسأله ارزیابی شده است. ابتدا با تغییر پارامترهای تعداد تکه‌های در نظر گرفته شده برای خطی‌سازی و طول بازه‌های خطی‌سازی، نتایج حاصل شده با حالت اصلی مقایسه خواهد شد. سپس اثر تعداد خطوط مجاز برای کلیدزنی در مسأله اصلی مورد بحث قرار خواهد گرفت. در انتها نیز مقایسه‌ای بین مدل MILP به دست آمده در این پایان‌نامه و مدل MIQCP انجام خواهد شد. برای تحلیل حساسیت در این قسمت، سناریو ج در سطح بار پیک انتخاب شده است.
جدول ۲-۱۶ حساسیت HHI را نسبت به تعداد تکه‌های خطی‌سازی نشان می‌دهد. برای این کار، در شکل ۲-۴ تعداد تکه‌ها افزایش یافته (با کاهش طول هر بازه خطی‌سازی) و میزان HHI محاسبه شده است. نتایج بیان می‌کنند که با افزایش تعداد تکه‌های در نظر گرفته شده برای خطی‌سازی، میزان کمینه و بیشینه HHI هر دو کاهش می‌یابند و در سطح پایین‌تری قرار می‌گیرند. این موضوع به دلیل افزایش دقت تقریب است. با توجه به اینکه خطوط هر یک از تکه‌ها بالای نمودار توان دو قرار می‌گیرد، پس میزان تقریب زده شده همواره از میزان واقعی بیشتر است. اما اگر بازه تغییرات HHI در نظرگرفته شود مشاهده می‌شود که به طور مثال در حالتی که تعداد تکه‌ها برابر با پانزده می‌باشد، بازه تغییرات HHI با TS، برابر با ۱۹۰۷ واحد است که در مقایسه با حالتی که تعداد تکه‌ها برابر با پنج است تغییر زیادی مشاهده نمی‌شود و خطایی که رخ داده برابر با %۶۵/۱= ۱۹۳۹/(۱۹۰۷-۱۹۳۹) است که نشان می‌دهد خطای محاسبه بازه تغییرات HHI، اندک و قابل چشم‌پوشی است.
در جدول ۲-۱۷ تأثیر طول بازه‌های خطی‌سازی بر کمینه و بیشینه HHI بدون و با کلیدزنی بررسی شده است. برای طول بازه‌ها دو حالت در نظر گرفته شده است. در حالت اول محدوده توان مورد نظر به تکه‌هایی با طول برابر تقسیم شده است و در حالت دوم با افزایش شیب، طول بازه‌ها نیز افزایش می‌یابد (حالتی که در شکل ۲-۴ نشان داده شده است)؛ به طوری که مجموع طول بازه‌ها برابر با کل محدوده توان باشد. نتایج نشان می‌دهند در حالتی که طول تکه‌ها برابر باشد (در هر دو حالت بدون و با TS)، کمینه HHI از حالت دوم بیشتر است، ولی بیشینه HHI مقدار کمتری را نسبت به آن دارا می‌باشد. این موضوع به دلیل شیب خطوط در دو حالت می‌باشد. در حالت اول شیب تکه‌های ابتدایی، بیشتر از شیب تکه‌های متناظر آن در حالت دوم است و به دلیل تغییرات بیشتر در ابتدای بازه، میزان کمینه HHI از شیب خطوط متأثر می‌شوند و در حالتی که با تکه‌های کوچکتر خطی‌سازی شده‌اند به میزان واقعی نزدیک‌تر خواهند بود. تفاوت بیشینه HHI در دو حالت، کمتر از تفاوت کمینه آن‌ ها است که نشان می‌دهد استفاده از حالتی که طول تکه خطی‌سازی به تناسب افزایش شیب آن، بیشتر می‌شود با خطای کمتری نسبت به حالت برابری طول تکه‌ها، همراه است. به همین دلیل، در خطی‌سازی برای هر دو مطالعه موردی بر روی شبکه‌های استاندارد IEEE-14 Bus و IEEE-118 Bus که در دو شکل ۲-۴ و ۲-۱۱ نشان داده شده است، از روش افزایش طول تکه‌ها با افزایش شیب استفاده شده است.
در جدول ۲-۱۸ حساسیت HHI به تعداد خطوط مجاز برای کلیدزنی در شبکه بررسی شده است. مشاهده می‌شود که با افزایش تعداد خطوط مجاز برای کلیدزنی میزان کمینه HHI تغییری نمی‌کند، ولی بیشینه HHI به میزان اندکی می‌تواند افزایش یابد. به طور کلی مشاهده می‌شود که با افزایش تعداد خطوط مجاز برای TS، بیش از تعداد خاصی، TS تأثیری بر روی کمینه و بیشینه HHI ندارد.
در جدول ۲-۱۹ مدل MILP استفاده شده در این پایان‌نامه که به کمک پارامترهای خطی‌سازی معرفی‌شده در شکل ۲-۴ به دست آمده و تعداد خطوط مجاز برای آن پنج خط است با مدل MIQCP اصلی با یکدیگر مقایسه شده‌اند. مقصود از مدل MIQCP، همان مسأله مرز رقابت با تابع هدف توان دو (مجموع مجذور توان تولیدی مالک‌ها) است. این مسأله را می‌توان در روابط ۲-۱ تا ۲-۷ مشاهده کرد. نتایج نشان می‌دهند که در مدل تقریب زده شده MILP میزان کمینه و بیشینه HHI، بیشتر از مدل MIQCP اصلی است. البته باید به این نکته نیز توجه داشت که زمان صرف شده برای حل این دو مسأله کاملاً متفاوت است. به طوری که مدل MILP، با صرف زمان دو ثانیه، نتایج مورد نظر را استخراج می‌کند، ولی مدل MIQCP زمانی حدود سی دقیقه برای حل مسأله بیشینه‌سازی صرف می‌کند که زمان بسیار زیادی است. در شبکه‌های کوچک می‌توان این زمان را صرف اجرای برنامه کرد، ولی در شبکه‌های بزرگ مدت زمان صرف شده برای شبیه‌سازی بسیار زیاد می‌باشد و با افزایش ابعاد شبکه و افزایش متغیرها، زمان شبیه‌سازی به صورت نمایی افزایش خواهد یافت. اگر بازه تغییرات HHI در هر دو مدل در نظرگرفته شود، با توجه به جدول ۲-۱۹ مشاهده می‌شود که در مدل MILP، بدون TS، بازه تغییرات HHI برابر با ۱۵۱۶ واحد و در مدل MIQCP برابر با ۱۴۳۴ بوده است. هم‌چنین با بهره گرفتن از TS بازه تغییرات در مدل MILP برابر با ۱۹۳۴ و در حالت MIQCP برابر با ۱۸۵۰ است. این دو مقدار اختلاف زیادی با یکدیگر ندارند و خطای مدل MILP بدون TS برابر با %۷/۵ (%۷/۵=۱۴۳۴/(۱۴۳۴-۱۵۱۶)) و با TS برابر با %۵/۴ خواهد بود. نتایج به دست آمده، نشان می‌دهند که با تقریب اندک می‌توان از مدل MILP به‌جای مدل MIQCP برای رهایی از مشکل زمان‌بر بودن مسأله، استفاده کرد.
جدول ‏۲–۱۶ حساسیت HHI بدون و با TS در سطح بار پیک سیستم به تعداد تکه‌های خطی‌سازی

جدول ‏۲–۱۷ حساسیت HHI بدون و با TS در سطح بار پیک سیستم به طول تکه‌های خطی‌سازی