به دلیل دوره­ای بودن رابطه زیر برقرار است:
(۲-۳۱)
بنابراین معادله هیل نسبت به تغییر متغیر (۲-۲۹) ناورداست.

جواب­هایی به شکل رابطه (۲-۲۸) را در هر بازه می­توان به دست آورد. مقادیر نهایی x و v در انتهای هر بازه تغییرات به عنوان مقادیر اولیه x و v در بازه بعدی بکار می­رود.
در انتهای هر دوره تناوب t=T رابطه (۲-۲۸) به شکل زیر در می ­آید.
(۲-۲۳)
با توجه به نمادگذاری زیر:
(۲-۳۳)
رابطه (۲-۳۲) را می­توان به شکل زیر نوشت:
(۲-۳۴)
چون رونسکین دو جواب و ثابت است. می­توان دید که دترمینان ماتریس مقدار یک را اختیار می­ کند:
(۲-۳۵)
داریم:
(۲-۳۶)
به طور مشابه می­توان دید که در انتهای n پریود داریم:
(۲-۳۷)
و جواب در بازه (۱(n+ ام به این صورت است:
(۲-۳۸)
که معادله (۲-۳۸) حل معادله هیل در هر زمان۰t > بر حسب شرایط اولیه و دو جواب مستقل خطی معادله هیل در بازه خواهد بود.
۲-۳-۱ محاسبه توان­های صحیح
توان­های صحیح ماتریس که در معادله (۲-۳۷) مورد نیاز است. به سادگی از قضیه سیلوستر بدست می ­آید. این قضیه مهم بیان می­ کند که اگر ریشه ­های مشخصه یا نهفته ماتریس یعنی _۱r _۲ rمجزا باشند و هر چند جمله­ای از باشد داریم:
(۲-۳۹)
که،
(۲-۴۰)
الحاقی ماتریس مشخصه ماتریس می­باشد و از شماره ۹ جدول ۲-۱ بدست می ­آید. تابع مشخصه ماتریس از شماره ۵ جدول (۲-۱) به­دست می ­آید و به شکل زیر است.
(۲-۴۱)
به منظور استفاده از قضیه سیلوستر برای محاسبه ، چند جمله­ای (۲-۲۴) را به شکل انتخاب می­کنیم. اگر باشد دو ریشه نهفته مجزا هستند و شماره ۱۰ جدول (۲-۱) به آسانی از قضیه سیلوستر بدست می ­آید.
در حالتی که است، هر دو ریشه نهفته مساوی یک هستند و شماره ۱۲ جدول (۲-۱) توان­های را می­ دهند. اگر باشد هر دو ریشه نهفته ، ۱- می شوند. در این حالت شماره ۱۳ جدول (۲-۱) شکل مناسب برای توان­های را می دهد. در حالت مهمی که ریشه ­های نهفته مجزا هستند و متقارن است به طوری که A=D شکل مناسب توان­های با رابطه ۱۱ جدول (۲-۱) بیان می­ شود. شماره­های ۱۰ تا ۱۳ جدول (۲-۱) تمام حالت­های خاص ممکن را شامل می­ شود.
ماتریس
دترمینان
معکوس
ماتریس مشخصه
تابع مشخصه
معادله مشخصه
ریشه ­های نهفته یا مشخصه (سه حالت)
:اگر
:اگر
:اگر
معکوس ماتریس مشخصه
الحاقی ماتریس مشخصه
توان­های صحیح (ریشه ­های نهفته مجزا)
که
توان­های صحیح حالت متقارن (ریشه ­های نهفته مجزا) cosh(a)=A
توان­های صحیح [M] (ریشه ­های مجزا مساوی)
توان­های صحیح [M]، ریشه ­های نهفته مساوی
جدول ۱-۲ :روابط اصلی شامل ماتریس [M]
۲-۳-۲ حل معادله هیل- مایسنر:
معادله هیل (۲-۱۹) در حالت خاص موج مربعی برای توابع F(t) (شکل ۲-۳) توسط مایسنربه کار رفته است: