جمله سمت راست معادله (۴-۱۹) دیورژانس نیروی وارد بر واحد حجم محیط را بیان می کند. این نیرو توسط میدان های نوری تابیده شده بر محیط ایجاد می شود که توسط پدیده Electrostriction توصیف می شود. مقدار دیورژانس این نیرو توسط رابطه زیر بیان می شود [۱۹]:
(۴-۲۰)
حال باجایگذاری رابطه (۴-۱۶) و (۴-۲۰) در رابطه (۴-۱۹) و با فرض اینکه تغییرات دامنه در حوزه زمان و مکان خیلی آهسته باشد و همچنین فرض داشتن حالت پایدار نتیجه زیر را بدست می آوریم [۱۹]:
(۴-۲۱)
در این رابطه می باشد. و را پهنای باند بریلوین می نامیم و به صورت زیر تعریف می شود:
(۳-۲۲)
حال با فرض داشتان حالت پایدار، در معادلات (۴-۱۷) و (۴-۱۸) مشتق اول نسبت به زمان حذف شده و با قرار دادن رابطه (۴-۲۱) در این دو رابطه خواهیم داشت:
(۴-۲۳)
(۴-۲۴)
با فرض می توانیم روابط (۴-۲۳) و (۴-۲۴) را به صورت ساده تر بیان کنیم:
(۴-۲۵)
(۴-۲۶)
در اینجا که به آن ضریب تقویت بریلوین برانگیخته[۵۱] می گویند و توان پمپ و موج استوکس به صورت تعریف می شوند. و مولفه های تطبیق نشده فاز می باشند که طیف بهره و طیف فاز پدیده SBS را توصیف می کنند.
(۴-۲۷)
(۴-۲۸)
ما تمام روابط بالا را برای یک پمپ تک فرکانس با صرف نظر کردن از تلفات فیبر بدست آوردیم. حال اگر فرض کنیم که پمپ تک فرکانس نباشد تمام روابط بالا بدون تغییر می مانند جز مولفه های تطبیق نشده فاز و که برای پمپ ورودی جدید به صورت زیر تعریف می شوند [۱۱]:
(۴-۲۹)
(۴-۳۰)
حال اگر فرض کنیم که طیف توان پمپ گوسی شکل باشد با پهنای باند که طیف آن به صورت زیر تعریف شده باشد:
(۴-۳۱)
با قرار دادن رابطه (۴-۳۱) در رابطه (۴-۲۹) رابطه زیر را بدست می آوریم [۱۱]:
(۴-۳۲)
در این رابطه تابع خطا مختلط[۵۲] می باشد [۵۷]، و .
اگر فرض کنیم که پهنای باند پمپ ورودی خیلی بزرگتر از پهنای باند بریلوین باشد، یعنی داشته باشیم . با این فرض می توانیم رابطه (۴-۳۲) را تقریب زده و به صورت ساده تر بنویسیم:
(۴-۳۳)
در اینجا تابع خطا متمم[۵۳] می باشد [۵۷] که با بهره گرفتن از جدا کردن قسمت حقیقی و موهومی آن و با توجه به رابطه (۴-۳۰) می توانیم و جدید را بدست آوریم:
(۴-۳۴)
(۴-۳۵)
پهنای باند طیف بهره بریلوین در این حالت برابر می باشد [۱۱].
۴-۵- توان آستانه بریلوین و ضریب تقویت بریلوین
پراکندگی بریلوین برانگیخته در یک مقدار کوچکی از توان پمپ اتفاق می افتد که به این مقدار، توان آستانه گفته می شود. در شبکه های نوری و برای کنترل سیستم ها براساس پراکندگی بریلوین دانستن این توان آستانه ضروری می باشد. اگر توان پمپ بیشتر از مقدار این آستانه باشد یک رشد نمایی در موج استوکس توسط نویز داخل فیبر بوجود می آید. پراکندگی بریلوین به اشباع می رسد که در آن توان پمپ کاهش می یابد و توان عبوری آن از فیبر محدود می شود. برای رخ دادن این پدیده در یک فیبر چند ده کیلومتری کافی است توان پمپ در حد چند میلی وات باشد. زیر مقدار توان آستانه، فرایند پراکندگی بریلوین برانگیخته فقط یک ناحیه تقویت استوکس و یک ناحیه تضعیف آنتی استوکس برای موج سیگنال انتشار یافته در جهت مخالف ایجاد می کند.
مقدار توان آستانه پراکندگی بریلوین برانگیخته می تواند توسط بیشینه توان ورودی پمپ که قبل از آن اثر پراکندگی بریلوین قابل ملاحظه نبوده است مشخص شود. یعنی توانی از پمپ که بعد از آن توان موج استوکس بشدت شروع به افزایش می کند و توان عبوری پمپ از فیبر شروع به کاهش می کند. توان آستانه بریلوین معمولا با بهره گرفتن از رابطه زیر محاسبه میشود [۸]:
(۴-۳۶)
و به ترتیب ناحیه و طول موثر فیبر می باشند، فاکتور پلاریزاسیون، بیشترین مقدار ضریب تقویت بریلوین می باشند.
فاکتور پلاریزاسیون مقداری بین ۱ و ۲ دارد و مقدار دقیق آن به رابطه بین پلاریزاسیون پمپ و موج استوکس یا موج سیگنال منتشر شده در جهت خلاف پمپ وابسته می باشد. برای داشتن یک برهم کنش بهینه بین پمپ و موج استوکس، هر دو موج باید در تمام طول فیبر هم پلاریزاسیون باشند، در این حالت کمترین مقدار خود را دارد که این مقدار برای فیبرهایی که پلاریزاسیون در آنها ثابت می ماند[۵۴]، معتبر میباشد. ولی در فیبرهای معمولی مانند فیبرهای تک مد استاندارد[۵۵] حالت پلاریزاسیون هر دو موج منتشر شده در جهت خلاف هم در نقاط مختلف فیبر متفاوت می باشد. به همین خاطر قدرت برهم کنش آنها کاهش می یابد و مقدار به عنوان ضریب پلاریزاسیون برای آنها استفاده می شود [۵۹].
طول موثر فیبر وابسته به طول فیبر و ضریب تلفات فیبر می باشد و با رابطه زیر بیان میشود [۹]:
(۴-۳۷)
اگر از حالت پلاریزاسیون بین دو موج استوکس و پمپ صرف نظر کنیم، بیشترین مقدار ضریب تقویت بریلوین بیشترین مقدار طیف تقویت بریلوین در فرکانس میباشد [۵۱]. ضریب تقویت بریلوین به خواص مختلف مواد فیبر وابسته است که این وابستگی با ضریب M2[56] بیان می شود. بیشترین ضریب تقویت پراکندگی بریلوین برانگیخته توسط رابطه زیر بیان می شود [۲۶]:
(۴-۳۸)
در اینجا فرکانس بریلوین، پهنای باند بریلوین (FWHM) میباشند، مقدار برای فیبر نوری تک مد استاندارد در طول موج ۱۵۵۰ نانومتر پمپ، بین m/W ۱۱-۱۰×۵-۱۱-۱۰×۱ قرار دارد. در عمل خواص مواد فیبر غالبا توسط تولیدکنندگان همراه با فیبر داده نمی شود از اینرو مقدار دقیق M2 مجهول می باشد، بنابراین می توانیم را با اندازه گیری مقدار توان آستانه بریلوین و استفاده از رابطه (۴-۳۶) بدست آوریم.
در عمل برای استفاده از از رابطه بین پلاریزاسیون موج استوکس و پمپ نمی توانیم صرف نظر کنیم. از اینرو اگر حالت های پلاریزاسیون هر دو موج به طور کامل با هم منطبق نباشند توسط ضریب کاهش می یابد درنتیجه در این حالت مقدار توان آستانه بریلوین افزایش می یابد. می توانیم ضریب تقویت بریلوین وابسته به پلاریزاسیون را با بهره گرفتن از رابطه زیر بدست آوریم [۲۶]:
(۴-۳۹)
۴-۶- خلاصه فصل
برای اینکه بتوانیم پدیده SBS آبشاری را در فیبرهای نوری بررسی کنیم نیاز به شناخت کامل SBS در فیبر نوری داشتیم به همین دلیل در این فصل ابتدا این اثر غیرخطی را به طور کامل توصیف و تمام جزئیات مورد نیاز آن را معرفی کردیم. همانطور که گفته شد دو نوع اثر غیرخطی پراکندگی بریلوین داریم،پراکندگی بریلوین خود برانگیخته و پراکندگی بریلوین برانگیخته شده (SBS) . برای شناخت کامل و بهتر اثر غیرخطی SBS ما ابتدا در قسمت سوم این فصل اثر غیرخطی پراکندگی بریلوین خودبرانگیخته را بررسی کردیم و معادله دیفرانسیل توصیف کننده آن را بدست آوردیم. سپس در بخش چهارم به بررسی اثر غیرخطی SBS پرداختیم و معادلات دیفرانسیل توصیف کننده آن را بدست آوردیم و دو مشخصه خیلی مهم SBS، طیف بهره و طیف فاز، را معرفی کردیم. همچنین برای یک فیبر نوری توان آستانه بریلوئن و ضریب تقویت بریلوئن را بدست آوردیم. در فصل بعدی با بهره گرفتن از معادلات شدتهای موج پمپ و موج استوکس که در فصل دوم بدست آوردیم و همچنین تغییر در ساختار فیبر، پدیده SBS آبشاری را در فیبر نوری بررسی می کنیم در ضمن با حل معادلاتی که در این فصل بدست آوردیم اثر SBS آبشاری را بر سیگنال بررسی خواهیم کرد.
فصل پنجم
پراکندگی بریلوئن بر انگیخته آبشاری در فیبر نوری
۵-۱- مقدمه
همانطوریکه در فصل گذشته بررسی شد، SBS در فیبر نوری در چند میلی وات از توان پمپ رخ می دهد . طرح ساده برای مطالعه SBS در فیبرهای نوری ، استفاده از یک فیبر نوری بلند معمولا در حد کیلومتر با یک انتهای مناسب می باشد که در انتهای این فیبر نوری از هر گونه بازخوردی اجتناب می شود. وقتیکه بازخورد به فیبر نوری در انتهای آن اضافه شود یا از بازتابنده های[۵۷] دیگر یا ساده تر شکل دادن یک حفره حلقوی[۵۸] استفاده شود ، آستانه SBS به طور قابل ملاحظه ای می تواند کاهش پیدا کند و حتی می تواند به نوسان[۵۹] و یک لیزر بریلوئن منجر شود]۳۴[.
