اثبات: برای اثبات به ]۴، قضیه ۹.۴[ مراجعه شود.
بنابر قضیه فوق اگر یک مدول نیم‌ساده و زیر مدولی از باشد، آنگاه و .
قضیه۲-۶: فرض کنید یک حلقه جابجایی و یک - مدول غیر صفر باشد. برای هر عنصر از حلقه فرض کنیم یک درون‌ریختی مدول باشد که به صورت تعریف می‌شود. در این صورت اول است اگر و تنها اگر به ازای هر داشته باشیم یا اینکه یک تکریختی باشد.
اثبات: فرض کنید اول باشد و تکریختی نباشد یعنی فرض کنیم آنگاه داریم درنتیجه زیرا مدول اول است. در نتیجه داریم و لذا .
بالعکس، فرض کنید به سادگی دیده می‌شود که همواره . حال فرض کنید . آنگاه داریم در نتیجه از آنجایی که ، پس تکریختی نیست و در نتیجه بنابر فرض . بنابراین . درنتیجه داریم ، و این به معنی اول بودن می‌باشد.
به عبارت دیگر مدول غیر صفر ، روی حلقه جابجایی ، اول است اگر و تنها اگر برای هر عضو حلقه و به ازای هر عضو ، اگر داشته باشیم آنگاه یا .
قضیه۲-۷: فرض کنید یک حلقه جابجایی و یک - مدول غیر صفر باشد. برای هر عنصر از حلقه فرض کنیم یک درون‌ریختی مدول باشد که به صورت تعریف می‌شود. در این صورت، مدول دوم است اگر و تنها اگر برای هر داشته باشیم یا یک بروریختی باشد.
اثبات: فرض کنید دوم باشد و بروریختی نباشد، بنابراین که زیرمدولی محض از مدول می‌باشد. لذا ، بنابراین . در نتیجه .
بالعکس، فرض کنید زیرمدولی محض از باشد، اگر آنگاه و در نتیجه بروریختی نیست. لذا بنا به فرض در نتیجه . لذا داریم
بنابراین .
و در نتیجه دوم است.
به عبارت دیگر، مدول غیر صفر روی حلقه جابجایی دوم است اگر و تنها اگر برای هر عضو ، یا .
قضیه۲-۸: اگر یک حلقه و یک - مدول اول باشد، آنگاه یک ایده‌آل اول است.
اثبات: اگر برای بعضی ایده‌آل‌های و از حلقه داشته باشیم ، آنگاه . اگر ، آنگاه از اول بودن مدول نتیجه می‌شود . بنابراین از نتیجه می‌شود
.
لذا داریم و در نتیجه . اگر ، آنگاه . بنابراین قضیه اثبات می‌شود.
قضیه۲-۹: اگر یک حلقه و یک - مدول دوم باشد، آنگاه یک ایده‌آل اول است.
اثبات: اگر برای بعضی ایده‌آل‌های و از حلقه داشته باشیم ، آنگاه . اگر ، آنگاه از دوم بودن مدول نتیجه می‌شود .
بنابراین از ، نتیجه می‌شود . در نتیجه . حال اگر ، آنگاه . در نتیجه .
فرض کنید یک مدول دوم و . در این صورت را یک مدول - دوم گویند.
قضیه۲-۱۰: هر مدول ساده، اول و دوم است.
اثبات: فرض کنید یک - مدول ساده باشد. بنابراین تنها زیرمدول غیر صفر آن می‌باشد. بنابراین اول است. از طرفی تنها زیرمدول محض زیرمدول صفر می‌باشد، بنابراین به‌وضوح داریم . در نتیجه دوم است.
تعریف۲-۱۱: مدول را نیم‌ساده گویند هرگاه برابر حاصل‌جمع زیرمدول‌های ساده خود باشد. در این صورت خانواده از زیرمدول‌های ساده موجود است. به قسمی که .
تعریف۲-۱۲: فرض کنید یک حلقه باشد. در این صورت را یک حلقه نیم‌ساده گویند اگر به عنوان - مدول راست (به طور معادل چپ)، یک مدول نیم‌ساده باشد.
یادآوری می‌کنیم مدول را نیم ساده همگن می نامیم، در صورتی که برابر حاصل‌جمع مستقیم زیرمدول‌های ساده یکریخت باشد.
قضیه۲-۱۳: هر مدول نیم ساده همگن، اول و دوم است.
اثبات: فرض کنید یک - مدول نیم‌ساده همگن باشد. بنابراین می‌توان فرض کرد ، برای یک مجموعه اندیس‌گذار و زیرمدول‌های ساده یکریخت از . حال اگر ، زیرمدول غیر صفری از باشد بنابر قضیه ۲-۵ داریم ، برای یک مجموعه اندیس‌گذار . حال اگر و ، از آنجایی که تمامی ها یکریخت هستند داریم
،
بنابراین اول است.
حال اگر ، زیرمدولی محض از باشد. داریم ، برای یک مجموعه اندیس گذار . با تکرار روند فوق می‌توانیم نتیجه بگیریم لذا دوم است.
حلقه را یک حلقه ساده گویند، هرگاه ایده‌آل دوطرفه غیر بدیهی نداشته باشد.
قضیه۲-۱۴: اگر یک حلقه ساده باشد، آنگاه هر مدول غیر صفر روی ، اول و دوم است.
اثبات: فرض کنید یک - مدول راست و زیرمدول غیر صفر از باشد. از آنجایی که یکدار است داریم ، و همچنین . از طرفی ساده است و پوچ‌سازها ایده‌آل هستند، بنابراین . در نتیجه اول است.
حال اگر زیرمدول محض باشد، یک مدول غیر صفر می‌باشد. حال مشابه روند اثبات فوق می‌توان نتیجه گرفت . بنابراین دوم است.
قضیه۲-۱۵: فرض کنید یک حلقه باشد. اگر به عنوان - مدول راست، مدولی دوم باشد آنگاه یک حلقه ساده است.
اثبات: فرض کنید ، ایده‌آل محض باشد. به‌وضوح ، از طرفی از آنجایی که حلقه یکدار است می‌توان نتیجه گرفت . حال از دوم بودن - مدول داریم ، بنابراین . در نتیجه . پس به عنوان - مدول، ساده است.
قضیه۲-۱۶: هر زیرمدول غیر صفر از یک مدول اول، اول است.
اثبات: فرض کنید یک - مدول اول و زیرمدول غیر صفر از باشد. حال اگر زیرمدول غیر صفر باشد، زیرمدول نیز است. بنابر اول بودن داریم . لذا اول است.
قضیه۲-۱۷: هر تصویر همریخت غیر صفر از یک مدول دوم، دوم است.
اثبات: فرض کنید ، یک - مدول دوم باشد. آنگاه هر تصویر همریخت غیر صفر به ازای یک زیرمدول محض از ، با یکریخت است. حال اگر ، زیرمدولی از شامل باشد، بنابر دوم بودن مدول داریم
.
بنابراین . در نتیجه مدول ، دوم است.
یادآوری۲-۱۸: هر زیرمدول انژکتیو از یک مدول، جمعوند مستقیم مدول اصلی می‌شود.
یادآوری۲-۱۹: اگر یک - مدول ساده باشد، آنگاه برای بعضی ایده‌آل‌های ماکسیمال راست از ، .
یادآوری۲-۲۰: فرض کنید ، یک - مدول و ، و زیرمدول‌های باشند، در این صورت داریم
،
علاوه بر آن اگر ، آنگاه تساوی برقرار است و رابطه فوق به صورت زیر خواهد شد.
این گزاره به قانون مدولار معروف است.
تعریف۲-۲۱: حلقه ، یک حلقه منظم وان‌نیومن است هرگاه برای هر، وجود داشته باشد به طوری‌که .
قضیه۲-۲۲: در حلقه منظم وان‌نیومن جابجایی هر ایده‌آل اول، ماکسیمال است.
اثبات: فرض کنید یک حلقه منظم وان‌نیومن جابجایی و ایده‌آل اول حلقه باشد، آنگاه حلقه یک دامنه صحیح و همچنین منظم وان‌نیومن جابجایی است. حال اگر ، آنگاه وجود دارد ، به طوری که . در نتیجه. از آنجایی که یک دامنه صحیح و است، داریم ، در نتیجه . بنابراین هر عضو غیر صفر، وارون پذیر است. لذا میدان است و بنابراین ایده‌آل ماکسیمال حلقه است.
تعریف۲-۲۳: ایده‌آل از حلقه را اولیه راست گویند هرگاه یک - مدول راست ساده موجود باشد به طوری‌که.
اگر در حلقه، ایده‌آل اولیه باشد، آنگاه حلقه را حلقه اولیه گویند.
تعریف۲-۲۴: زیرمدول از- مدول غیر صفر را اساسی گویند، و آن را با نماد نشان می‌دهیم، هرگاه برای هر زیر مدول از از، نتیجه شود.
تعریف۲-۲۵: زیرمدول از - مدول غیر صفر را در کوچک یا زائد گویند، و آن را با نماد نشان می‌دهیم، هرگاه به ازای هر زیرمدول محض از داشته باشیم.
تعریف۲-۲۶: اگر و دو- مدول باشند ویک همریختی- مدولی باشد، دوتایی را یک پوشش پروژکتیو برای می‌نامند هرگاه مدولی پروژکتیو و یک بروریختی باشد به طوری که باشد.
