رسانندگی گرمایی  یک گاز کلاسیکی در نظریه جنبشی متناسب با چسبندگی  و گرمای ویژه  است. چسبندگی یک گاز طبق نظریه جنبشی برابر است با:
که  چگالی،  سرعت متوسط مولکولی و  زمان میانگین^[۲۱] پراکندگی است. در مورد یک سیستم فرمی تبهگن  که  سرعت فرمی و مستقل از دماست. میزان پراکندگی،  ، متناسب است با احتمال اینکه دو اتم که در حالت­های با انرژی  قرار دارند با یکدیگر برخورد کرده و به حالت­های جدید  پراکنده شوند؛ بنابراین، سرعت پراکندگی به احتمال یافتن دو تراز خالی در محدوده KT از انرژی فرمی بستگی دارد. این احتمال متناسب با  است و در نتیجه  ، که با اندازه ­گیری­های تجربی برای مایع هلیم-III در توافق است. آبل و همکارانش چسبندگی  در دمای چند میلی کلوین را بطور غیر مستقیم اندازه ­گیری کردند و برای اولین بار نشان دادند که در دمای میلی کلوین چسبندگی وابستگی دمایی  دارد [۱۶]. بتس و همکارانش چسبندگی را در زیر دمای بصورت مستقیم اندازه ­گیری کردند و همانطور که در شکل (۱-۳) می­بینیم، نشان دادند که چسبندگی در زیر دمای سریعاً افزایش می­یابد و با نتایج آبل و همکارانش در توافق است [۱۷].

شکل (۱-۳): منحنی چسبندگی بر حسب دما [۱۷].
رسانندگی گرمایی طبق تئوری انرژی جنبشی بصورت  است و از آنجا که ظرفیت گرمایی متناسب با T است،  ، بنابراین  می­باشد.  در بالای نقطه­ی لامبدا چنین رفتاری دارد. لی و فیربانک رسانندگی گرمایی هلیم-III را بین و اندازه ­گیری کردند و نشان دادند که مایع هلیم-III در دماهای بالای نیز چنین رفتاری را نشان می­دهد [۱۸]. اندرسون و همکارانش نشان دادند که رسانندگی گرمایی در دماهای پایین­تر کاهش می­یابد و کمینه­ای در دارد [۱۹]. آن­ها اندازه ­گیری­های خود را تا دمای ادامه دادند و دریافتند که در زیر دمای وابستگی رسانندگی گرمایی به دما بصورت  است که این برای گاز فرمی تبهگن پیش ­بینی شده بود که نتایج آنها در شکل (۱-۴) نشان داده شده است.
شکل (۱-۴): رسانندگی گرمایی بر حسب دما در فشار پایین در مقیاس لگاریتمی [۱۹].
۱-۴-۳- پذیرفتاری مغناطیسی
هر اتم هلیم-III ممان دوقطبی مغناطیسی کوچکی دارد که در غیاب میدان مغناطیسی به علت حرکت­های گرمایی بصورت تصادفی جهت­گیری می­ کند. بنابراین ترازهای انرژی متناظر با دو مقدار ممکن عدد کوانتومی هسته (ترازهایی که دارای اسپین­های موازی و پادموازی هستند) بطور مساوی اشغال می­شوند (دارای انرژی مساویند) اما در حضور میدان مغناطیسی تمام دوقطبی­ها به خط می­شوند و ترازهای انرژی متناظر با اسپین­هایی که موازی با میدان قرار گرفته­اند به اندازه  (  مگنتون هسته) به سمت پایین و ترازهای انرژی متناظر با اسپین­های پادموازی با میدان به همان اندازه به سمت بالا شیفت پیدا می­ کنند. حال اتم­های هلیم-III بین ترازها به گونه ­ای توزیع می­شوند که انرژی فرمی بدون تغییر باقی بماند. در این حالت یک پذیرفتاری پارامغناطیسی کوچک  بوجود می ­آید. از نظر کلاسیکی  به مرتبه مغناطش انرژی­های گرمایی،  ، بستگی دارد. بنابراین  و این بیانی از قانون کوری است. فیربانک و همکارانش [۲۰] و نیز تامسون و همکارانش [۱۱] نشان دادند که در دماهای بالا قانون معروف کوری برای پارامغناطیس­ها،  ، که C ثابت کوری است برای مایع هلیم-III نیز برقرار است، و در دماهای پایین­تر به سرعت کاهش می­یابد تا اینکه مقدار ثابت می­ شود. اگر انرژی مغناطیسی  خیلی کوچکتر از انرژی فرمی باشد (که در میدان­های مغناطیسی خیلی قوی این موضوع صادق است) تعداد اسپین­های در حال انتقال از حالت پادموازی به موازی  مساوی با تعداد حالت­های اشغال شده است که با حضور میدان مغناطیسی به انرژی­های بالای سطح فرمی شیفت پیدا می­ کنند. در دماهای پایین  ،  می­ شود که  چگالی حالت­ها در انرژی فرمی است، و مغناطش بر واحد حجم بصورت زیر بدست می ­آید،

با توجه به رابطه­ بالا و رابطه­ پذیرفتاری پارامغناطیسی بر واحد حجم  مشاهده می­ شود که پذیرفتاری مغناطیسی برای یک گاز فرمی تبهگن به وضوح مستقل از دماست.
بیل^[۲۲] و هاتون^[۲۳] پذیرفتاری مغناطیسی را در گستره دمایی ۰٫۰۷ کلوین تا ۴٫۲ کلوین برای فشارهای مختلف اندازه ­گیری کردند و نشان دادند که قانون کوری فقط در دماهای بالاتر از ۲ کلوین صادق است. آن­ها نشان دادند که پذیرفتاری مغناطیسی در تمامی فشارها را می­توان در یک منحنی کلی بصورت  بر حسب دمای کاهیده  که  دمای تبهگنی مغناطیسی نامیده می­ شود، رسم کرد [۲۱] (شکل (۱-۵)). نتایج آن­ها نشان می­دهد که وقتی فشار از صفر تا افزایش یابد، مقدار  از ۰٫۵۵ کلوین به ۰٫۳۲ کلوین می­رسد.
شکل (۱-۵): تابع  بر حسب دمای کاهیده  برای فشارهای صفر تا [۲۱].

اهداف رساله
در سال­های اخیر با بکار بردن روش وردشی مقید به بررسی خواص ترمودینامیکی مایع هلیم-III پرداخته شده است [۲۲-۲۵]. در این رساله هدف ما بکارگیری روش وردشی مقید برای محاسبه­ی خصوصیات ترمودینامیکی نانولایه هلیم-III در دمای صفر است. به همین منظور، ابتدا در فصل دوم به بررسی نانوساختارها، نانولایه هلیم و در نهایت برخی کارهای تجربی و نظری انجام شده روی نانولایه هلیم- III می­پردازیم. سپس در فصل سوم برخی از روش­های وردشی که برای محاسبه­ی خصوصیات بس­ذره­ای مناسب هستند را شرح می­دهیم. در فصل چهارم روش وردشی مقید را بیان می­کنیم. در فصل پنجم مقدار چشمداشتی انرژی از طریق بسط خوشه­ای برای یک سیستم متشکل از N اتم هلیم-III برهمکنش کننده، را با محاسبه­ی انرژی­های خوشه­ی تک جسمی و دوجسمی بدست می­آوریم ودر فصل آخر نتایج محاسبات را مورد بحث و بررسی قرار می­دهیم.
فصل دوم
نانولایه هلیم- III
۲-۱- مقدمه
از نگاه لغوی، کلمه نانو به معنای یک میلیاردم (^۹-۱۰) است و در اصل از واژه­ا­ی یونانی به معنای کوتوله گرفته شده است.
نانوتکنولوژی مجموعه ­ای است از فناوری­هایی که به صورت انفرادی یا با هم در جهت بکار­گیری و یا درک بهتر علوم مورد استفاده قرار می­گیرند. موضوع اصلی آن نیز مهار ماده یا دستگاه­های در ابعاد کمتر از یک میکرومتر، معمولا حدود ۱ تا ۱۰۰ نانومتر است. در ­واقع فناوری نانو فهم و بکارگیری خواص جدیدی از مواد و سیستم­هایی در این ابعاد است که اثرات فیزیکی جدیدی- عمدتاً متاًثر از غلبه خواص کوانتومی بر خواص کلاسیکی- ازخود نشان می­ دهند [۲۶] .هدف این رساله محاسبات خصوصیات ترمودینامیکی نانو­لایه هلیم-III با بهره گرفتن از محاسبات بس ذره­ای است. به این منظور در ادامه این فصل مروری بر فناوری نانو، روند آن و کاربردش در زندگی روزمره خواهیم داشت و در ادامه به بررسی نانولایه هلیم- III و برخی خواص آن می­پردازیم.
۲-۲- تاریخچه نانو
در طول تاریخ بشر از زمان یونان باستان، مردم و بخصوص دانشمندان آن دوره بر این باور بودند که مواد را می­توان آنقدر به اجزاء کوچک تقسیم کرد تا به ذراتی رسید که خرد ناشدنی هستند و این ذرات بنیاد مواد را تشکیل می­ دهند. شاید بتوان دموکریتوس فیلسوف یونانی را پدر فناوری و علوم نانو دانست چرا که در حدود ۴۰۰ سال قبل از میلاد مسیح او اولین کسی بود که واژه­ی اتم را که به معنای تقسیم نشدنی در زبان یونانی است برای توصیف ذرات سازنده مواد بکار برد. با تحقیقات و آزمایش­های بسیار، دانشمندان تاکنون ۱۰۸ نوع اتم و تعداد زیادی ایزوتوپ کشف کرده اند. آن­ها همچنین پی برده اند که اتم­ها از ذرات کوچکتری مانند کوارک­ها و لپتون­ها تشکیل شده ­اند. با این­حال این کشف­ها در تاریخ پیدایش این فناوری پیچیده اهمیت زیادی ندارد.
نقطه شروع و توسعه اولیه فناوری نانو بطور دقیق مشخص نیست، شاید بتوان گفت که اولین نانوتکنولوژیست­ها شیشه­گران قرون وسطایی بوده ­اند که از قالب­های قدیمی (Mediea Forges ) برای شکل دادن شیشه­هایشان استفاده می­کرده ­اند البته این شیشه­گران نمی­دانستند که چرا با اضافه کردن طلا به شیشه رنگ آن تغییر می­ کند. در آن زمان برای ساخت شیشه­های کلیساهای قرون وسطایی از ذرات نانومتری طلا استفاده می­شده است و با این کار شیشه های رنگی بسیار جذابی بدست می­آمده است.
اولین جرقه فناوری نانو (البته در آن زمان هنوز به این نام شناخته نشده بود) در سال ۱۹۵۹ زده شد [۲۷]. در این سال ریچارد فاینمن طی یک سخنرانی با عنوان «فضای زیادی در سطوح پایین وجود دارد» ایده فناوری نانو را مطرح ساخت. وی این نظریه را ارائه داد که در آینده­ای نزدیک می­توانیم مولکول­ها و اتم­ها را دست­کاری کنیم.
واژه فناوری نانو اولین بار توسط نوریوتاینگوچی استاد دانشگاه علوم توکیو در سال ۱۹۷۴ بر زبان­ها جاری شد [۲۸]. او این واژه را برای توصیف ساخت مواد (وسایل) دقیقی که تلورانس ابعادی آن­ها در حد نانومتر می­باشد، بکار برد. در سال ۱۹۸۶ این واژه توسط کی­اریک­درکسلر در کتابی تحت عنوان «موتور آفرینش: آغاز دوران فناوری نانو» بازآفرینی و تعریف مجدد شد [۲۹]. وی این واژه را به شکل عمیق­تری در رساله دکترای خود با عنوان «نانوسیستم­ها ماشین­های مولکولی چگونگی ساخت و محاسبات آن­ها» توسعه داد.
۲-۳- اصول بنیادی نانو
یک نانومتر یک­میلیاردیم متر است. برای سنجش طول پیوندهای کربن-کربن، یا فاصله­ی میان دو اتم بازه­ی ۱۲ تا ۱۵ نانومتر بکار می­رود؛ هم­چنین طول یک جفت دی­ان­آ نزدیک به ۲ نانومتر است. و از سوی دیگر کوچکترین باکتری سلول­دار۲۰۰ نانومتر است.اگر بخواهیم برای دریافتن مفهوم اندازه­ یک نانومتر نسبت به متر سنجشی انجام دهیم می­توانیم اندازه­ آن­را مانند اندازه­ یک تیله به کره­ی زمین بدانیم. برای احساس اندازه­ های فوق ریز، قطر موی سر انسان را که یک دهم میلیمتر است در نظر بگیرید، یک نانومتر صدهزار بار کوچکتر است. تفاوت اصلی فناوری نانو با فناوری­های دیگر در مقیاس مواد و ساختارهایی است که در این فناوری مورد استفاده قرار می­گیرند. البته تنها کوچک بودن اندازه مد نظر نیست؛ بلکه زمانی که اندازه مواد در این مقیاس قرار می­گیرد، خصوصیات ذاتی آن­ها از جمله رنگ، استحکام، مقاومت، خوردگی و… تغییر می­یابد. در حقیقت اگر بخواهیم تفاوت این فناوری را با فناوری­های دیگر به­ صورت قابل ارزیابی بیان نماییم، می­توان وجود عناصر پایه را به عنوان معیار ذکر کنیم. عناصر پایه درحقیقت همان عناصر نانو مقیاسی هستند که خواص آن­ها در حالت نانومقیاس با خواص­شان در مقیاس بزرگتر فرق می­ کند.
اولین و مهم­ترین عنصر پایه، نانوذره است. منظور از نانوذره، همان­گونه که از نام آن مشخص است، ذراتی با ابعاد نانومتری در هر سه بعد می­باشد. نانوذرات می­توانند از مواد مختلفی تشکیل شوند مانند نانوذرات فلزی، سرامیکی و…
دومین عنصر پایه نانوکپسول است. نانوکپسول­ها کپسول­هایی هستند که قطر نانومتری دارند و می­توان مواد مورد نظر را درون آن قرار داد و کپسوله کرد.
عنصر پایه بعدی نانولوله کربنی است. این عنصر پایه در سال ۱۹۹۱ کشف شد و در حقیقت لوله­هایی از جنس گرافیت می­باشند. اگر صفحات گرافیت را پیجیده و به شکل لوله درآوریم به نانولوله­های کربنی می­رسیم. این نانولوله­ها داری اشکال و اندازه­ های مختلفی هستند و می­توانند تک دیواره یا چند دیواره باشند.
۲-۴- تقسیم بندی نانومواد
۲-۴-۱- نانومواد صفر بعدی
درصورتی­که تمام ابعاد یک نانوماده اندازه­ کمتر از ۱۰۰ نانومتر داشته باشند، آن­را نانوماده صفر بعدی می­نامیم. این نانومواد به شکل­های مختلفی همچون کروی، خوشه­ای نامنظم و کپسولی وجود دارند. از نانومواد صفربعدی می­توان فولرن­ها، نانوپودرها، درخت­سان­ها و نانونقاط کوانتومی نام برد.
۲-۴-۲- نانومواد یک بعدی
ابعاد برخی از نانوموادها به­گونه ­ای است که تنها در یک راستا اندازه­ای بزرگتر از ۱۰۰ نانومتر دارندکه آن­ها را با عنوان نانومواد یک بعدی می­شناسیم مانند نانوسیم­ها و نانولوله­ها.
۲-۴-۳- نانومواد دوبعدی
صفحاتی گسترده با ضخامت حدود چند نانومتر هستند و در دو راستا اندازه­ های بزرگتر از ۱۰۰ نانومتر دارند که آن­ها را در دسته نانومواد دوبعدی قرار می­دهیم. نانوروکش­ها، نانولایه­ها و صفحات گرافن در این دسته قرار دارند.
۲-۴-۴- نانومواد سه بعدی
این دسته از نانومواد در هر سه بعد اندازه­هایی بیش از ۱۰۰ نانومتر دارند مانند نانوکامپوزیت­ها و نانوحفره­ها.
۲-۵- خواص نانومواد
با گذار از مقیاس میکرو به نانو، با تغییر برخی خواص فیزیکی و شیمیایی روبرو می­شویم که دو مورد مهم از آن­ها عبارتند از: افزایش نسبت مساحت سطحی به حجم و ورود اندازه به قلمرو اثرات کوانتومی.
افزایش نسبت مساحت سطحی به حجم که به تدریج با کاهش اندازه ذره رخ می­دهد، باعث غلبه یافتن رفتارهای اتم واقع در سطح ذره به رفتار اتم­های درونی می­ شود. این پدیده بر خصوصیات ذره در حالت انزوا و بر تعاملات آن با دیگر مواد اثر می­گذارد. افزایش سطح، واکنش­پذیری نانومواد را به شدت افزایش می­دهد زیرا تعداد مولکول­ها یا اتم­های موجود در سطح در مقایسه با تعداد اتم­ها یا مولکول­های موجود در توده­ی نمونه بسیار زیاد است، به­گونه ­ای که این ذرات به شدت تمایل به آگلومره یا کلوخه­ای شدن دارند. به­عنوان مثال در نانوذرات فلزی، به­محض قرارگیری در هوا به سرعت اکسید می­شوند. در بعضی مواقع برای حفظ خواص مطلوب نانومواد، جهت پیشگیری از واکنش بیشتر یک پایدارکننده را بایستی به آن­ها اضافه کرد که آن­ها را قادر می­سازد تا در برابر سایش، خوردگی و فرسودگی مقاوم باشند.
البته این خاصیت مزایایی هم دربر دارد. مساحت سطحی زیاد، عامل کلیدی در کارکرد کاتالیزورها و ساختارهایی همچون الکترودها می­باشد. به­عنوان مثال با بهره گرفتن از این خاصیت می­توان کارایی کاتالیزورهای شیمیایی را به نحو موثری بهبود بخشید و یا در تولید نانوکامپوزیت­ها با بهره گرفتن از این مواد، پیوندهای شیمیایی مستحکم­تری بین ماده زمینه و ذرات برقرار شده و استحکام آن به شدت افزایش می­یابد. علاوه براین، افزایش سطح ذرات فشار سطحی را کاهش داده و منجر به تغییر فاصله بین ذرات یا فاصله بین اتم­های ذرات می­ شود. تغییر در فاصله­ی بین اتم­های ذرات و نسبت سطح به حجم بالا در نانوذرات، تاثیر متقابلی در خواص ماده دارد. تغییر در انرژی آزاد سطح، پتانسیل شیمیایی را تغییر می­دهد. این امر در خواص ترمودینامیکی ماده تاثیرگذار است.
به محض آن­که ذرات به اندازه کافی کوچک می­شوند، شروع به رفتار مکانیک کوانتومی می­ کنند. خواص نقاط کوانتومی رفتاری از این دست است. نقاط کوانتومی کریستال­هایی در اندازه نانو می­باشند که از خود نور ساطع می­ کنند. انتشار نور توسط این نقاط در تشخیص پزشکی کاربردهای فراوانی دارد. این نقاط گاهی اتم­های مصنوعی نامیده می­شوند؛ چون الکترون­های آزاد آن­ها مشابه الکترون­های محبوس در اتم­ها، حالات گسسته و مجازی از انرژی را اشغال می­ کنند.
علاوه براین، کوچک­تر بودن اندازه نانوذرات ازطول موج بحرانی نور آن­ها را نامرئی و شفاف می­نماید. این خاصیت باعث شده است تا نانومواد برای مصارفی چون بسته بندی، مواد آرایشی و روکش­ها مناسب باشند.
مواد در مقیاس نانو رفتار کاملا متفاوت، نامنظم و کنترل نشده­ای را از خود بروز می­ دهند. مثلاً فلزات سخت­تر و سرامیک نرم­تر می­ شود. برخی از ویژگی­های نانومواد در زیر بطور خلاصه آمده است:
کاتالیستی: اثر کاتالیستی بهتر، به دلیل نسبت سطح به حجم بالاتر
الکتریکی: افزایش هدایت الکتریکی در سرامیک­ها و نانوکامپوزیت­های مغناطیسی و افزایش مقاومت الکتریکی در فلزات
مغناطیسی: افزایش مغناطیسیته با اندازه بحرانی دانه­ها و رفتار سوپرپارامغناطیسیته ذرات
نوری: خصوصیات فلوئورسنتی و افزایش اثر کوانتومی و کریستال­های نیمه­هادی
بیولوژیکی: افزایش نفوذپذیری از بین حصارهای بیولوژیکی(غشاء و سد مغز خون و غیره) و بهبود زیست­سازگاری
۲-۶- کاربرد نانو در زندگی روزمره
شاید ۵۰ سال پیش که ریچارد فاینمن در سخنرانی معروف خود، داستان تخیلی و جذابش با عنوان «آن پایین فضا بسیار هست»، را با آب و تاب تعریف می­کرد و در آن اتم­ها را مثال اسباب­بازی­هایی به دست آدم­های قصه­اش می­سپرد تا با آن هرچه می­خواهند بسازند و هرجور می­خواهند زندگی کنند، گمان نمی­کرد روزی در همین نزدیکی­ها این داستان به واقعیت بدل شود و امروزه روز همان آدم­ها از قصه بیرون بیایند و به دنیاهای وسیع و روشن آن پایین سفر کنند.