-
-
- شرایط LMI کافی برای مسئله کنترل فیدبک خروجی
-
سیستم پیوسته با زمان زیر را در نظر میگیریم:
(۳-۱۹)
که در آن ، و ماتریس های حالت سیستم میباشند. بسیار واضح است که سیستم (۳-۱۹) از طریق فیدبک حالت قابل پایدار سازی است اگر و تنها اگر ماتریس معین مثبت و با ابعاد مناسب وجود داشته باشند بطوریکه:
(۳-۲۰)
با ضرب نامعادله فوق از دو طرف در خواهیم داشت:
(۳-۲۱)
اکنون با تعریف معادله فوق نیز بصورت زیر تبدیل خواهد شد:
(۳-۲۲)
در حقیقت این یک نتیجه شناخته شده از میباشد که نامعادله بالا بر حسب متغییر های و امکان پذیر است اگر و تنها اگر ماتریس های و پایدار پذیر باشند، انگاه فیدبک سیستم (۳-۱۹) را پایدار میسازد. یافتن یک پاسخ برای این مسأله یا بیان اینکه مسأله امکان پذیر نمیباشد با الگوریتم های موجود به سادگی صورت میپذیرد.
اکنون حالت فیدبک استاتیک خروجی را در نظر میگیریم، یعنی قانون کنترلی مورد نظر ساختاری بصورت یا بطور معادل با دارد. از رابطه (۳-۲۱) داریم:
(۳-۲۳)
به دلیل اینکه نامعادلات ماتریسی فوق بطور کلی محدب نمیباشند، حل عددی آنها برای و بسیار دشوار میباشد. در ارتباط با این مسأله غیرمحدب، مسأله محدب زیر را داریم:
تعریف ۳-۱- مسأله W
ماتریس های معلوم ، و ماتریس رتبه کامل سطری را در نظر میگیریم. مسأله W شامل یافتن، در صورت امکان، ماتریس های ، و میشود بطوریکه:
(۳-۲۴)
مسألهW دارای دو جنبه مهم است: محدب میباشد و از اینرو میتوان آنرا را با الگوریتم های کارآمد حل نمود، علاوه بر آن چنانچه امکان پذیر باشد آنگاه مسأله پایدار سازی فیدبک استاتیک خروجی (۳-۲۳)، که محدب نمیباشد، نیز امکان پذیر خواهد بود که در ادامه نشان داده خواهد شد.
تئوری ۳-۸
اگر ، و پاسخ های مسأله Wباشند. آنگاه فیدبک
(۳-۲۵)
سیستم (۳-۱۹) را پایدار میسازد.
اثبات:اگر رتبه سطری کامل باشد، آنگاه از نتیجه میشود که نیز رتبه کامل است و بنابراین معکوس پذیر است در نتیجه . با بهره گرفتن از این حقیقت و تعریف رابطه (۳-۲۳) را از رابطه (۳-۲۴) بدست خواهیم آورد.
چنانچه نقطه آغاز کار را به جای رابطه (۳-۲۱)، رابطه (۳-۲۰) در نظر بگیریم، نتیجه حاصل بصورت زیر خواهد بود:
تعریف ۳-۲- مسألهP
ماتریس های معلوم ، و ماتریس رتبه کامل ستونی را در نظر میگیریم. مسأله P شامل یافتن، در صورت امکان، ماتریس های ، و میشود بطوریکه:
(۳-۲۶)
استنباط ۱: اگر ، و پاسخ های مسألهP باشند. آنگاه فیدبک
(۳-۲۷)
سیستم (۳-۱۹) را پایدار میسازد.
امکان پذیری هر کدام از مسائلP یا W یک شرط کافی برای مسأله فیدبک استاتیک خروجی میباشد و این مزیت را دارد که به دلیل محدب بودن میتوان آنرا با الگوریتم های موثر و کارآمد مورد بررسی قرار داد.
نتایج برای سسیتم های گسسته در زمان بصورت زیر خواهد بود.
سیستم گسسته در زمان زیر را در نظر میگیریم:
(۳-۲۸)
همتای گسسته در زمان (۳-۲۳) بصورت زیر خواهد بود:
(۳-۲۹)
براساس این نامعادله ماتریسی نتایج زیر را بدست می آوریم:
تعریف ۳-۳- مسألهP گسسته
ماتریس های معلوم ، و ماتریس رتبه کامل ستونی را در نظر میگیریم. مسأله P گسسته شامل یافتن، در صورت امکان، ماتریس های ، و میشود بطوریکه:
(۳-۳۰)
تعریف ۳-۴- مسألهW گسسته:
ماتریس های معلوم ، و ماتریس رتبه کامل سطری را در نظر میگیریم. مسأله W گسسته شامل یافتن، در صورت امکان، ماتریس های ، و میشود بطوریکه:
(۳-۳۱)
مشابه مورد پیوسته با زمان نشان دادن اینکه چنانچه مسأله Pامکان پذیر باشد آنگاه قانون کنترلی سیستم (۳-۲۸) را پایدار میسازد کار دشواری نیست، همچنین چنانچه مسأله Wامکان پذیر باشد آنگاه قانون کنترلی سیستم (۳-۲۸) را پایدار میسازد.
۴- طراحی کنترل کننده فیدبک استاتیک خروجی برای نیل به تعقیب فازی برای سیستم های غیرخطی توصیف شده با مدل تاکاگی- سوگنو T-S
-
- مقدمه
یک سیستم غیرخطی به مجموعه ای از معادلات غیرخطی گفته میشود که برای توصیف یک دستگاه یا فرایند فیزیکی بکار گرفته میشوند که نمیتوان آن را توسط مجموعه ای از معادلات خطی تعریف نمود. سیستم های دینامیکی به عنوان یک مترادف برای سیستم های فیزیکی یا ریاضی استفاده میشود زمانیکه معادلات توصیف کننده نمایانگر تکامل یک پاسخ با زمان یا گاهاً با ورودی های کنترل و/ یا دیگر پارامتر های متغیر میباشند.
