مدلهایی که در این فصل مورد بحث قرار گرفتهاند عبارتند از: مدل گاز فرمی، مدل پوستهای، مدل جمعی و مدل شبه کوارکی. علاوه بر اینها متدهای دیگری برای به دست آوردن بعضی خواص هستهها مورد استفاده قرار گرفته است، که میتوان از محاسبات مربوط به کشش سطحی هستهها نام برد. از کارهای انجام شده در این راستا میتوان به منابع [۱۴-۲۲] اشاره کرد. در مدل آلفا ذرهای سعی شده است که هسته را مرکب از ذرات آلفا در نظر بگیرند [۲۳ و ۲۴] تا بتوانند برخی خصوصیات هسته را توضیح دهند.
۳-۲- مدل گاز فرمی[۱۹]
یک سیستم شامل تعدادی از نوترونها وپروتونها که در یک جعبه مکعبی به طول a قرار دارند را در نظر میگیریم. معادله شرودینگر برای یک تک ذره که در این جعبه قرار دارد به صورت زیر است.
(۳-۱)
با اعمال شرط مرزی، سد پتانسیل بینهایت در دیواره های جعبه، تابع موج در مرز برابر صفر خواهد شد، . مرز تابع جایی است که یکی از حالات زیر اتفاق بیفتد.
(۳-۲)
عمل دیواره های جعبه در واقع جایگزین میانگین برهمکنش بین نوکلئونهاست. با تنظیم اندازه جعبه میتوان به چگالی نوکلئونها در هسته رسید. حل معادله (۳-۱) با شرایط مرزی داده شده برابر است با:
(۳-۳)
در اینجا روابط زیر برقرار است.
(۳-۴)
در اینجا ، و همگی اعداد صحیح مثبت هستند و A ثابت بهنجارش است. (اعداد صحیح منفی به جواب یکسان با معادله (۳-۳) ختم خواهند شد.) هر مجموعه از اعداد صحیح یک جواب متناظر با انرژی زیر به دست خواهد آورد.
(۳-۵)
این معادله به همراه محدودیتهایی که معادله (۳-۴) بر روی مقادیر ، و قرار میدهد نمایانگر کوانتیزه شدن یک ذره در جعبه خواهد شد. از معادله (۳-۵) آشکار است که تکانه (تقسیم بر ) یک ذره در جعبه است.
بنابر اصل طرد پائولی هر حالت می تواند با چهار نوکلئون پر شود. دو پروتون با اسپینهای مختلف و دو نوترون با اسپینهای متفاوت. کمترین انرژی هسته با پر شدن پایینترین ترازهای انرژی جعبه به دست می آید. مقدار این انرژی بستگی به تعداد حالتهای در دسترس دارد.
با در نظر گرفتن فضای تکانه k به خاطر رابطه (۳-۴)، به ازای هر عنصر حجم مکعبی با طول (و حجم ) در این فضا تنها یک نقطه وجود دارد که یک جواب به فرم معادله (۳-۳) برای معادله (۳-۱) وجود دارد. تعداد حالتهای مجاز ، با اندازه k بین k و با رابطه زیر داده می شود.
(۳-۶)
در این رابطه حجم پوسته کروی در فضای تکانه با شعاعهای k و است؛ تنها یک هشتم از این پوسته در نظر گرفته شده است، چون ، و تنها مقادیر مثبت را اختیار می کنند. حجم فضای تکانهای است که هر حالت می تواند اشغال کند. شکل (۳-۱) تعداد حالتهای مجاز تا انرژی با رابطه زیر بیان می شود.
(۳-۷)
شکل (۳-۱): هر نقطه در محل تقاطع خطوط نماینده یک زوج مجاز است. به منظور یافتن تعداد زوجهای مجاز بین و ، تعداد نقطههای بین دو کمان دایروی مشخص شده در شکل را میشماریم. معادله (۳-۶) به طریق مشابه اما در سه بعد به دست آمده است.
چون هر حالت تکانه، براساس اصل طرد پائولی، دو پروتون و دو نوترون را در خود جای دهد. میخواهیم پایینترین سطح انرژی A نوکلئون که برهمکنشی با همدیگر ندارند، و در یک جعبه به طول a قرار دارند را حساب کنیم. پایینترین سطح انرژی هنگامی است که تعداد پروتونها و نوترونها با هم برابر باشد. بیشترین تکانه خطی با بهره گرفتن از رابطه بالا به دست می آید.
(۳-۸)
در اینجا حجم جعبه است. نتیجهای که از این رابطه به دست می آید این است که تکانه بالاترین حالت اشغال شده تنها به چگالی نوکلئونها، ، در جعبه بستگی دارد.
(۳-۹)
ما برهمکنش بین نوکلئونها را نادیده گرفتیم (بجز در حالتی که چگالی را تعیین میکرد، که از طریق دیوارهای جعبه اعمال شد). با این محدودیت، توزیع تکانه در واحد حجم در فضای تکانه، تابع پلهای است، با یک مقدار ثابت محدود هنگامی که و برابر با صفر خواهد بود هنگامی که ، شکل (۳-۱). این توزیع تکانه تحت عنوان توزیع فرمی نامیده شده است. در آزمایشات پراکندگی انرژی بالا میتوان توزیع تکانه نوکلئونها در هستهها را اندازه گیری کرد، که نتیجه چنین آزمایشاتی عدم وجود تابع پلهای به ازای میباشد، اما احتمال یافتن نوکلئونی با تکانه سریعاً با k کاهش مییابد.
N(k)
kF
k
شکل (۳-۲): توزیع تکانه نوکلئونها در حالت پایه گاز فرمی. تکانه فرمی و برابر با تعداد حالتهایی که تکانه بین و دارند.
با بهره گرفتن از مقدار مشاهده شده چگالی هستهها، ، که عملاً برای هستههای با ثابت است، مقدار و را به دست میآوریم.
(۳-۱۰)
و به ترتیب تکانه فرمی و انرژی فرمی مدل گاز تبهگن است. متوسط انرژی جنبشی فرمیونهای داخل جعبه کمتر از است و با در نظر گرفتن چگالی مشاهده شده هستهها از رابطه زیر به دست می آید.
(۳-۱۱)
همچنین مناسب است که شعاع هستهها را با بهره گرفتن از رابطه به دست آوریم. از آنجایی که چگالی مشاهده شده هستهها تقریباً از عدد جرمی آنها مستقل است، رابطه زیر به دست می آید.
(۳-۱۲)
با مقدار مشاهده شده چگالی هستهها شعاع هستهها به دست می آید و در نتیجه:
(۳-۱۳)
راههای گوناگونی برای محاسبه شعاع هستهها وجود دارد، چون هستهها مرز پلهای ندارند، بلکه چگالی هستهها تقریباً به صورت هموار به صفر می کند، معادله (۳-۱۳) نمایانگر شعاع کرهای است که همه نوکلئونها را در بر بگیرد.
با توجه به رابطه (۳-۶) و شکل (۳-۱ ) میبینیم که به ازای هر مقدار ، به عنوان نمونه، نباید حالتهایی را بشماریم که ، زیرا در این حالتها تابع موج صفر است. تعداد این چنین حالاتی که در عنصر دایروی سطحی و شعاع k قرار دارد برابر است. بنابراین تعداد حالاتهای مجاز بین k و برابر است با:
(۳-۱۴)
که در اینجا سطح مکعب دربرگیرنده گاز فرمی است. چون بر حسب نسبت نوشته شده است، برای هسته با هر شکلی معتبر است. میتوان نشان داد که در واقع تابعی از نسبت است. با بهره گرفتن از این رابطه میتوان انرژی هسته را به دست آورد.
(۳-۱۵)
در اینجا و . در این مدل را در واقع ضریب جمله حجمی و را ضریب جمله سطحی در رابطه انرژی بستگی هستهها میدانند.
برای شعاع هسته رابطه برقرار است. و چگالی هسته است. بنابراین و بنابراین ضریب جمله سطحی در رابطه انرژی بستگی بدست می آید.
(۳-۱۶)
با جایگزینی مقدار انرژی فرمی، از رابطه (۳-۱۱)، در این رابطه و استفاده از مقدار مشاهده شده چگالی هستهها انرژی سطحی برابر با به دست می آید؛ که قابل مقایسه با مقدار فرمول نیمه تجربی جرم است (یعنی ).
چندان معقول به نظر نمیرسد که چگالی هستهها را به صورت یک تابع پلهای که در شکل (۳-۲) نشان داده شده در نظر بگیریم بلکه بهتر است آن را مانند شکل (۳-۳) در نظر بگیریم که با رابطه زیر بیان می شود.
(۳-۱۷)
در این صورت تا اولین مرتبه خواهیم داشت.
(۳-۱۸)
از طرف دیگر چگالی متوسط با رابطه زیر بدست می آید.
(۳-۱۹)
طرف چب معادله (۳-۱۸) تا اولین مرتبه مستقل از است بنابراین مقدار t برابر خواهد بود با: . مقدار تجربی ضخامت پوست هستهها، فاصلهای است که چگالی هستهها از تا چگالی قسمت ثابت تغییر می کند. با این تعریف ضخامت پوست برابر می شود. اندازه گیری ضخامت پوست هستهها مقدار را میدهد که با مقدار به دست آمده با مدل گاز فرمی قابل مقایسه است. البته اگر تابع چگالی به صورت هموارتر تعریف شود. مقدار به دست آمده بهتر خواهد شد [۲۵].
