می باشد. بدون از دست دادن هیچ کلیتی می توان فرض کرد که، (در واقع برقراری رابطه (۴۲)به مقادیر و بستگی ندارد).
اگر تعریف کنیم ، آن گاه ، زیرا دارای بخش رانش نامنفی ، بدون مولفه ی براونی ، و فقط دارای پرش های مثبت کران دار از پایین به وسیله ی ، است و همچنین فقط دارای پرش های منفی کران دار از بالا به وسیله ی و بخش رانش نامثبت است. پس ، بنابراین
با توجه به قضیه ی (۳٫۱۳ [۲۴])
با توجه به این که
در نتیجه
با بهره گرفتن از فرضیات روی ، به دست می آوریم
بنابر (۴۱) ، انتگرال های در عبارت بالا کراندار هستند بنابراین
و با جایگذاری در (۴۴) اثبات محقق می شود.
فرض های در مورد در قضیه ی ۴-۱-۹ نسبت به فرضیه های قضیه ی ۵-۱-۴ کمی قویتر هستند. در قضیه ی ۴-۱-۹ می توان به جای خطای برش (۴۲) مستقیماً از (۴۶) استفاده کرد ، که در این صورت شرط های روی ، (۴۱) ، ضروری به نظر نمی رسند. اما باید توجه داشت ، که ممکن است انتگرال های (۴۶) وجود نداشته باشند.
۴-۱-۱۰ گسسته سازی فضا: مرحله ی بعد از موضعی سازی برای حل معادله ی ،گسسته سازی فضا می باشد.در واقع زمان و مکان را تقسیم بندی می کنیم و یک شبکه ساخته خواهد شد که به صورت زیر تعریف می شود:
و همچنین فرض می کنیم جواب معادله ی روی نقاط این شبکه باشد.
ایده ی اصلی روش های عددی تفاضل متناهی، برای حل معادلات (معادله ی (۳۲)) تفکیک اپراتوربه دو بخش است:
که بخش دیفرانسیل و بخش انتگرال ، اپراتور می باشند. برای ارائه ی روش های تفاضل متناهی دو حالت را در نظر می گیریم:
الف) در حالتی که مدل با فعالیت متناهی باشد (با نرخ متناهی). ب) در حالتی که مدل با فعالیت نامتناهی باشد.
۴-۱-۱۱ روش های تفاضل متناهی در مدل های با فعالیت متناهی: همان طور که در بخش ۲ گفته شد ، در مدل های با فعالیت متناهی است. در این حالت فرض می کنیم . بنابراین اپراتور در معادله ی (۳۲) به صورت زیر است:
اگر برش انتگرال را بازه ی در نظر بگیریم،
در نتیجه
که .
برای تقریب ، عبارت های انتگرالی از روش ذوزنقه ای استفاده می کنیم. برای این کار فرض می کنیم و به گونه ای باشند که . بنابراین با بهره گرفتن از روش ذوزنقه ای ،
همچنین مشتقات جزئی اپراتور را ، با تفاضلات متناهی جایگزین می کنیم:
در تقریب مشتق جزئی مرتبه ی اول دو حالت را در نظر گرفته ایم ، که این شروط برای برقراری پایداری می باشند. (پایداری را در قسمت همگرایی بحث خواهیم کرد) بدون از دست دادن هیچ کلیتی حالت را در نظر خواهیم گرفت(علت آن را در قسمت همگرایی خواهیم گفت) ، در نتیجه با بهره گرفتن از (۴۷)،(۴۸) و (۴۹)
۴-۱-۱۲ روش تفاضل متناهی صریح- ضمنی[۸۱] و الگوریتم آن (در حالت اول): مسأله ی (۳۲) را در نظر می گیریم، با بهره گرفتن از (۵۰) و می توان تعریف کرد:
روش بالا ، به روش صریح مشهور است . (انتخاب های متفاوتی برای در سمت راست (۵۱) وجود دارد.) روش دیگری نیز که مشهور به روش ضمنی است ، به صورت زیر تعریف می شود:
روش های بالا را می توان در یک فرم کلی ارائه کرد ، یا به عبارت دیگر
اگر ، همان روش صریح است . اگر باشد، یک روش شبیه روش ضمنی می باشد . به همین دلیل است که روش بالا را ، روش می نامند.
بحث روی پیچدگی محاسبات در هر مرحله در مقابل تعداد مراحل نشان می دهد، اگر باشد، آن گاه روش ضمنی یک روش مناسب است و هنگامی که ، انتخاب روش صریح مناسب تر است. (برای جزئیات بیشتر به [۲۴] مراجعه شود) اما اگر و در معادله وجود داشته باشند، از تفکیک اپراتور استفاده می کنیم . یعنی این که ترکیبی از دو روش صریح و ضمنی را به کار می بریم، که به روش صریح – ضمنی معروف است و بدین صورت تعریف می شود.
در نهایت الگوریتم روش صریح- ضمنی به صورت زیر است:
۱) شرایط را به صورت زیر جایگزین می کند:
۲) برای حل می کند:
(۵۲)
حال روش صریح – ضمنی را برای مسأله ی در حالت دوم بررسی خواهیم کرد:
۴-۱-۱۳ روش های تفاضل متناهی در مدل های با فعالیت نامتناهی: در بخش (۲) دیدیم که در مدل های لوی با فعالیت نامتناهی، است پس روش قسمت قبل را مستقیماً نمی توان به کار برد. به عبارت دیگر، هنگامی که اندازه ی لوی در نزدیکی صفر تکین باشد، روش قبل ( صریح- ضمنی) را نمی توان استفاده کرد . در فصل ۲ (۵-۳-۲) مشاهده کردیم که هر فرایند لوی با فعالیت نامتناهی را می توان با یک فرایند پواسون ترکیبی ، با برش اندازه ی لوی در نزدیکی صفر تقریب زد ، یا به طور معادل ، پرش های کوچک فرایند لوی را به وسیله ی یک حرکت براونی تقریب زد. بنابراین فرایند (یک فرایند لوی با فعالیت نامتناهی) با یک فرایند با فعالیت متناهی و یک ضریب دیفیوژن اصلاح شده ، تقریب زده می شود.
فرض کنیم که داده شده باشد . طبق ۵-۳-۲ تقریب فرایند را به صورت در نظر می گیریم که یک فرایند لوی با سه تایی مشخصه ی می باشد ، که در آن
و این انتخاب به گونه ای است که مارتینگل شود.
حال تابع (جواب مسأله ی ) به صورت زیر تعریف است:
که در مسأله ی کوشی زیر صدق می کند:
جایی که
در نتیجه با تقریب فرایند لوی با فعالیت نامتناهی با یک فرایند لوی با فعالیت متناهی ، حالت دوم به حالت اول مبدل گردیده است . بنابراین روش صریح – ضمنی را می توان در این حالت نیز به کاربرد.
در ادامه روش محاسبه ی نرخ همگرایی را برای تقریب ارائه می دهیم:
۴-۱-۱۴ قضیه: فرض کنیم در شرط لیپشیتز صدق کند: و و جواب های مسأله ی (۳۲) و (۵۳) باشند، آن گاه که در آن یک مقدار ثابت است.
اثبات: تعریف می کنیم ، با توجه به تعریف و
چون در شرط لیپشیتتز صدق می کند(طبق فرض) بنابراین تقریباً همه جا با شرط ، دیفرانسیل پذیر است. با بهره گرفتن از قضیه ی ۲-۳-۶ داریم
